两个一元二次方程根互为倒数的问题研究

题目
请阅读下列材料：

问题：已知方程 $x^2 + x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍。

解：设所求方程的根为 $y$，则 $y = 2x$，所以 $x = \dfrac{y}{2}$。把 $x = \dfrac{y}{2}$ 代入已知方程，得

化简得

故所求方程为

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”。

请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）。

1. 已知方程 $x^2 + x - 2 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______。

2. 已知方程 $2x^2 - 7x + 3 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数。

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解答

1. 解：
设所求方程的根为 $y$，则 $y = -x$，所以 $x = -y$。
把 $x = -y$ 代入已知方程 $x^2 + x - 2 = 0$，得

化简得

故所求方程为

2. 解：
设所求方程的根为 $y$，则 $y = \dfrac{1}{x}$，所以 $x = \dfrac{1}{y}$。
把 $x = \dfrac{1}{y}$ 代入已知方程 $2x^2 - 7x + 3 = 0$，得

即

方程两边同乘 $y^2$（由题意 $y \neq 0$），得

整理，化成一般形式：

故所求方程为

拓展
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$，且 $c \neq 0$，保证原方程无零根），求一个新的一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数。

解：
设所求方程的根为 $y$，则 $y = \dfrac{1}{x}$，所以 $x = \dfrac{1}{y}$。
把 $x = \dfrac{1}{y}$ 代入已知方程 $ax^2 + bx + c = 0$，得

即

方程两边同乘 $y^2$（$y \neq 0$），得

整理成关于 $y$ 的一般形式：

故所求方程为

（注：若 $c = 0$，则原方程有一根为 $0$，倒数无意义，此类情况不作讨论。）

本题或其变式，尤其是拓展部分，在《初中必刷题》《典中点》等教辅均有收录，是经典的换元法与一元二次方程的结合题目。如果c＜0，通常会方程两边乘-1使首项为正。详见错题本104页128题。